Oλίσθηση σε κεκλιμένα επίπεδα και ο νόμος του Snell

Author - ioannis p

Δεκεμβρίου 21, 2020

Η σημειακή χάντρα του παραπάνω σχήματος ολισθαίνει χωρίς τριβές κατά μήκος των ευθύγραμμων οδηγών ΑΒ και ΒC.
1. Aν $v_{A}$ , $v_{B}$ και $v_{C}$ είναι οι ταχύτητες που έχει η χάντρα στα σημεία A, Β και C. Να δείξετε ότι η μέση ταχύτητα για την διαδρομή ΑΒ είναι: $\bar{v}_{1}=\frac{v_{A}+v_{B}}{2}=\frac{v_{A} +\sqrt{2g(y_{A}-y_{B})}}{2}$ και για την διαδρομή ΒC: $\bar{v}_{2}=\frac{v_{B}+v_{C}}{2}=\frac{\sqrt{2g(y_{A}-y_{B})}+\sqrt{2g(y_{A}-y_{C})}}{2}$
2. Θεωρούμε τα σημεία Α και C σταθερά, καθώς επίσης και την τεταγμένη y_B του σημείου Β, ενώ η τετμημένη α του σημείου Β μπορεί να μεταβάλλεται. Η χάντρα διανύει τις διάφορες διαδρομές Α→Β(α)→C με την ίδια αρχική ταχύτητα $v_{A}$ . Να δείξετε ότι η διαδρομή στην οποία η χάντρα κάνει τον ελάχιστο χρόνο να πάει από το Α στο C, ικανοποιεί την εξίσωση του «μηχανικού νόμου Snell» : $\frac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\frac{\bar{v}_{1}}{\bar{v}_{2}}$ , όπου $\theta_{1}$ και $\theta_{2}$ , οι γωνίες «πρόσπτωσης» και «διάθλασης», αντίστοιχα.

υπόδειξη:
1. η απάντηση προκύπτει εύκολα εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης ταχύτητας ή θεώρημα Merton (βλέπε πράσινο ένθετο του κεφαλαίου 1.1 στο βιβλίο της Α’ Λυκείου ΕΔΩ)
2. $t_{o \lambda}=\frac{AB}{\bar{v}_{1}}+\frac{BC}{\bar{v}_{2}}$ . Εκφράζουμε τις (υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων) ΑΒ και BC συναρτήσει της μεταβλητής α (οι μέσες ταχύτητες δεν εξαρτώνται από την μεταβλητή α), και απαιτούμε η συνάρτηση $t_{o \lambda}(a)$ να έχει ελάχιστο: $dt_{o \lambda}(a)/da=0$ . H απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη του νόμου διάθλασης του Snell εφαρμόζοντας την αρχή του Fermat.